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Cambios de ritmo: ¿cuesta arriba o abajo?

Unas cuantas cuentas pueden ayudar a la sabiduría popular, quizá algún atleta de renombre se haga eco o algún esforzado de la ruta o palista, quien sabe. El caso es que mi conclusión es clara: Los cambios de ritmo a favor de corriente, cuesta abajo vamos. Lo voy a intentar demostrar claro.

Un modelo muy sencillo de un deportista que se mueve a velocidad constante se podría escribir:

F = m \ddot{x} +b \dot{x}

Para aclararnos \ddot{x} será la derivada segunda de la velocidad (la aceleración) y \dot{x} la derivada primera (la velocidad), del deportista claro. El rozamiento es proporcional a la velocidad. Será el caso más sencillo, rozamientos de orden mayor (cuadrado o cubo de la velocidad) nos llevarían a la misma conclusión más acentuada.

Seamos breves, si reescribimos la ecuación:

\ddot{x} - (b/m) \dot{x} - (F/m) = 0

Es sencillo llegar a las siguientes soluciones:

Posición:    x(t) = (m/b) K_1 e^{-(b/m) t} + (F/b) t + K_2

Velocidad: \dot{x} (t) = K_1 e^{-(b/m) t} + (F/b)

Aceleración: \ddot{x} (t) = - (b/m) K_1 e^{-(b/m)t}

La solución viene a expresar que el deportista (pasados los instantes iniciales) avanzará a velocidad constante tanto mayor cuanto mayor sea la fuerza que imprima y menor  el rozamiento del medio donde se mueva (F/b). Podría representar de manera sencilla a un ciclista en ruta, a un atleta corriendo o a un palista en el río.

Ahora viene lo interesante. Supongamos dos medios, dos coeficientes b_1 , b_2, (b_2 > b_1) .  Representarían avanzar cuesta arriba o abajo, corriente a favor o en contra. Según esto,  la velocidad cumple:

\dot{x_1} (t) = K e^{-(b_1/m) t} + (F/b_1)

\dot{x_2} (t) = K e^{-(b_2/m) t} + (F/b_2)

Para cada medio (1,2) respectivamente. Hacemos ahora un cambio de ritmo, el mismo sobre los dos medios (F' > F). Entonces:

\dot{x'_1} (t) = K e^{-(b_1/m) t} + (F'/b_1)

\dot{x'_2} (t) = K e^{-(b_2/m) t} + (F'/b_2)

Serían las nuevas velocidades que conseguimos con el cambio de ritmo. El aumento de velocidad en cada medio será:

\Delta \dot{x_1} = \dot{x'_1} - \dot{x_1} =

= K( e^{-(b_1/m) t} - e^{-(b_1/m) t}) + (F'/b_1) - (F/b_1) = \Delta F /b_1

\Delta \dot{x_2} = \dot{x'_2} - \dot{x_2} =

= K( e^{-(b_2/m) t} - e^{-(b_2/m) t}) + (F'/b_2) - (F/b_2) = \Delta F /b_2

Nuestro cambio de ritmo sería el mismo en cada medio, sin embargo, el aumento de velocidad sería menor en el medio de rozamiento mayor (b_2>b_1).

Entonces:

\Delta \dot{x_1} > \Delta \dot{x_2} \Longrightarrow (\Delta F / b_1 > \Delta F /b_2)

Todo por que (b_2>b_1). Si con el mismo cambio consigo aumentar más mi velocidad en el medio más ‘liviano’ el cambio será más efectivo. Está claro, los  cambios de ritmo mejor cuesta abajo que cuesta arriba, para el mismo esfuerzo mi velocidad aumenta más. Es más rentable cambiar viento a favor que en contra, corriente a favor y no corriente en contra. Más rentable y menos cansado.

¿Coincide ésto con la sabiduría popular?. Depende de a quien le preguntes. Supongo.

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