Archive for abril, 2010

Ecuaciones de tercer grado

Ya estudiadas en la antigua Babilonia para después pasar por matemáticos Orientales (China e India); sin un resultado completo: la solución general.

Europa debió pasar primero el medievo, malos tiempos para la matemática y no fue hasta el renacimiento con la introducción de la numeración Indo-Árabe (1,2,3,4 …) cuando empezaron los progresos como el que nos ocupa, que a la postre llevarían a la revolución matemática de los siglos XVII – XIX.

Sería, Tartaglio (el tartamudo), siglo XVI, matemático autodidacta, el primero en obtener la solución general, con permiso de  Gerolamo Cardano, coetáneo de él y autor del trabajo y el nombre (la fómula de Cardano) que divulgó el método.

Pero vayamos al grano. La resolución de este tipo de ecuaciones requiere un par de cambios de variable y algo de álgebra, más lío que el segundo orden, quizá por ello poco conocidas. Veamos:

a x^3 + b x^2 + c x + d = 0

Reordenamos y renombramos:

x^3 + (b/a) x^2 + (c/a) x + (d/a) = 0

x^3 + b' x^2 + c' x + d' = 0

Un cambio de variable nos permite simplificar la cosa:

z = x + b'/3

Y nos lleva a:

z^3 +z(c' - b'^2/3) + (2b'^3/27) - (c'b'/3) + d' = 0

Por tanto a:

z^3 + p z + q = 0

Vamos mejorando, un segundo cambio…

z = u + v

Permite obtener:

(u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0)

E  imponemos:

(3uv + p)=0

Lo que fuerza a que:

u^3 + v^3 + q = 0

Si tomamos ahora:

U=u^3  y V=v^3

Las condiciones anteriores serán:

U + V = -q

U V = -(p/3)^3

Donde ‘p’  y  ‘q’ son sencillas de obtener. Es fácil comprobar que ‘U’ y ‘V’ deben ser las raices de una ecuación de segundo orden del tipo:

X^2 + qX - p^3/27 = 0

Pues:

(X - U)(X - V) = X^2 - X(U+V) + UV = 0

Que evidentemente es fácil de resolver. Puede parecer un poco complicado, pero si quiere resolver una ecuación de tercer grado sólo debe seguir los siguientes pasos:

1.-    Partir de la ecuación general y reeescribirla de la forma:

z^3 + pz + q = 0

Teniendo en cuenta lo que corresponde a ‘p’ y ‘q’ (ver lo anterior)

2.- Calcular las soluciones de:

X^2 + qX - p^3/27 = 0

3.-Tras lo cual sólo queda deshacer cambios hasta el resultado:

u = (U)^{1/3} y v = (V)^{1/3}

Finalmente:

z = u + v y x= z - b'/3

El resultado buscado.

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