Archive for Física

Un modelo matemático para la reproducción celular

Puede parecer una intromisión matemática en el mundo de la biología o una nueva puesta en escena del últimamente denominado ‘ cientifismo’, el caso es que se acaba de publicar un más que interesante artículo en la revista ‘Physical Review Letters’ [1] (una de las más prestigiosas revistas científicas) del cual se ha hecho eco ‘Investigación y ciencia’ ,  conocida revista de divulgación.  A pesar que ésta última no describe los detalles y  ‘Physical Review Letters’ me consta es de pago, es posible descargar una copia del artículo colgado en el repositorio gratuito ‘Arxiv’ [2] medio a través del que me he hecho con una copia.

Ilustremos sus líneas maestras: un aspecto intrigante de la biología molecular parece ser el propio mecanismo de la replicación molecular, esto es, los aspectos físico-químicos implicados. Hasta la fecha había sido posible sintetizar en condiciones de laboratorio ciertas moléculas complejas capaces de autocopiarse en cierto modo, hasta que el proceso se descontrolaba; algo indeseable claro.  Parece obvio que dicho autocopiado es crítico en la físico-química celular; pues bien, el trabajo que nos ocupa propone y simula un modelo matemático sencillo mediante el cual una pareja de moléculas pueden autocopiarse indefinidamente y de manera estable.

Celulas Matemáticas

Instantáneas de las células simuladas

La idea fundamental no es complicada. Supongamos dos moléculas A y B probablemente proteínas complejas o similar y supongamos capaces de interaccionar entre sí y con el medio que las circunda. Los autores modelan matemáticamente su movimiento aleatorio en el medio que las rodea mediante una descripción Browniana, aleatoria. Mediante la ecuación de Languevín:

\frac{dv}{dt} = - \nabla U(x) - \eta v + A(t)

Siendo v la velocidad, U(x) un potencial de interacción, A(t) una fuerza ‘Browniana’ aleatoria y finalmente \eta la viscosidad que representa al medio. En sus pequeños pero continuos desplazamientos aleatorios en ocasiones se encuentran e interaccionan con diferentes resultados posibles:

a) existe cierta probabilidad (pb) de que simplemente aparezca una copia exacta de B.

b) también habrá cierta probabilidad (pa), muy inferior, de que lo que surja de la interacción sea una copia de A y

c) por último quedará cierta probabilidad de que simplemente no surja nada, o nada útil.

Todo ello bajo la suposición hecha que son moléculas autoreplicantes claro.  Así, si la velocidad de aparición de B es mucho mayor que la de A, pero sólo en cierto rango  y evolucionando en su medio a través de pequeños desplazamientos aleatorios dados por:

\Delta x = - \frac{D \Delta t}{K_b T} \nabla U(x) + S(t)

Expresión que se deduce de la ecuación anterior, teniendo en cuenta la relación:

D = \frac{K_b T}{\eta}

Y por último la relación:

S(t) = \frac{D \Delta t}{K_b T} A(t)

Que en todo caso será una fuerza aleatoria. Dejando a un lado lo farragoso de la matemática. Los científicos demuestran como las moléculas B, que se van copiando, y actuando como un soma, van envolviendo a las A que sólo aparecen en ocasiones cromosoma; generando en sus simulaciones ciertas pseudocélulas matemáticas.

Pues bien, la idea no parece complicada sino intuitiva y robusta, como han de ser los buenos modelos matemáticos y el lector interesado casi se atrevería a generalizarla o incluso intentar probarla en su computadora casera.  Las moléculas rápidas B pueden suponerse de componentes más simples y rápidos de ensamblar y obtener del medio intercelular, mientras la molécula A podría ser de estructura más compleja y componentes más delicados y actuar en cierto modo controlando el proceso, quizá no sólo con una sola molécula rápida B sino con otros compuestos B1, B2 . . . etc; actuando con un centro de sintetización.  No son moléculas de tubo de ensayo sino de naturaleza matemática pero ahí están sobre el tapete de las ideas: un trabajo arduo seguro, para un resultado sencillo y bien presentado, una entelequia matemática, una locura científica de unos chiflados que deberían pasarse al café descafeinado, de sobre, que es más seguro.

[1] Kamimura, Atsushi; Kaneko, Kunihiko; “Reproducction of a Protocell by Replication of a Minority Molecule in a Catalitic Reaction Network.” Physical Review Letters, vol 105, Issue 26,  Dic/2010

[2] arXiv:1005.1142v1 [q-bio.CB]

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Ecuaciones de tercer grado

Ya estudiadas en la antigua Babilonia para después pasar por matemáticos Orientales (China e India); sin un resultado completo: la solución general.

Europa debió pasar primero el medievo, malos tiempos para la matemática y no fue hasta el renacimiento con la introducción de la numeración Indo-Árabe (1,2,3,4 …) cuando empezaron los progresos como el que nos ocupa, que a la postre llevarían a la revolución matemática de los siglos XVII – XIX.

Sería, Tartaglio (el tartamudo), siglo XVI, matemático autodidacta, el primero en obtener la solución general, con permiso de  Gerolamo Cardano, coetáneo de él y autor del trabajo y el nombre (la fómula de Cardano) que divulgó el método.

Pero vayamos al grano. La resolución de este tipo de ecuaciones requiere un par de cambios de variable y algo de álgebra, más lío que el segundo orden, quizá por ello poco conocidas. Veamos:

a x^3 + b x^2 + c x + d = 0

Reordenamos y renombramos:

x^3 + (b/a) x^2 + (c/a) x + (d/a) = 0

x^3 + b' x^2 + c' x + d' = 0

Un cambio de variable nos permite simplificar la cosa:

z = x + b'/3

Y nos lleva a:

z^3 +z(c' - b'^2/3) + (2b'^3/27) - (c'b'/3) + d' = 0

Por tanto a:

z^3 + p z + q = 0

Vamos mejorando, un segundo cambio…

z = u + v

Permite obtener:

(u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0)

E  imponemos:

(3uv + p)=0

Lo que fuerza a que:

u^3 + v^3 + q = 0

Si tomamos ahora:

U=u^3  y V=v^3

Las condiciones anteriores serán:

U + V = -q

U V = -(p/3)^3

Donde ‘p’  y  ‘q’ son sencillas de obtener. Es fácil comprobar que ‘U’ y ‘V’ deben ser las raices de una ecuación de segundo orden del tipo:

X^2 + qX - p^3/27 = 0

Pues:

(X - U)(X - V) = X^2 - X(U+V) + UV = 0

Que evidentemente es fácil de resolver. Puede parecer un poco complicado, pero si quiere resolver una ecuación de tercer grado sólo debe seguir los siguientes pasos:

1.-    Partir de la ecuación general y reeescribirla de la forma:

z^3 + pz + q = 0

Teniendo en cuenta lo que corresponde a ‘p’ y ‘q’ (ver lo anterior)

2.- Calcular las soluciones de:

X^2 + qX - p^3/27 = 0

3.-Tras lo cual sólo queda deshacer cambios hasta el resultado:

u = (U)^{1/3} y v = (V)^{1/3}

Finalmente:

z = u + v y x= z - b'/3

El resultado buscado.

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Cambios de ritmo: ¿cuesta arriba o abajo?

Unas cuantas cuentas pueden ayudar a la sabiduría popular, quizá algún atleta de renombre se haga eco o algún esforzado de la ruta o palista, quien sabe. El caso es que mi conclusión es clara: Los cambios de ritmo a favor de corriente, cuesta abajo vamos. Lo voy a intentar demostrar claro.

Un modelo muy sencillo de un deportista que se mueve a velocidad constante se podría escribir:

F = m \ddot{x} +b \dot{x}

Para aclararnos \ddot{x} será la derivada segunda de la velocidad (la aceleración) y \dot{x} la derivada primera (la velocidad), del deportista claro. El rozamiento es proporcional a la velocidad. Será el caso más sencillo, rozamientos de orden mayor (cuadrado o cubo de la velocidad) nos llevarían a la misma conclusión más acentuada.

Seamos breves, si reescribimos la ecuación:

\ddot{x} - (b/m) \dot{x} - (F/m) = 0

Es sencillo llegar a las siguientes soluciones:

Posición:    x(t) = (m/b) K_1 e^{-(b/m) t} + (F/b) t + K_2

Velocidad: \dot{x} (t) = K_1 e^{-(b/m) t} + (F/b)

Aceleración: \ddot{x} (t) = - (b/m) K_1 e^{-(b/m)t}

La solución viene a expresar que el deportista (pasados los instantes iniciales) avanzará a velocidad constante tanto mayor cuanto mayor sea la fuerza que imprima y menor  el rozamiento del medio donde se mueva (F/b). Podría representar de manera sencilla a un ciclista en ruta, a un atleta corriendo o a un palista en el río.

Ahora viene lo interesante. Supongamos dos medios, dos coeficientes b_1 , b_2, (b_2 > b_1) .  Representarían avanzar cuesta arriba o abajo, corriente a favor o en contra. Según esto,  la velocidad cumple:

\dot{x_1} (t) = K e^{-(b_1/m) t} + (F/b_1)

\dot{x_2} (t) = K e^{-(b_2/m) t} + (F/b_2)

Para cada medio (1,2) respectivamente. Hacemos ahora un cambio de ritmo, el mismo sobre los dos medios (F' > F). Entonces:

\dot{x'_1} (t) = K e^{-(b_1/m) t} + (F'/b_1)

\dot{x'_2} (t) = K e^{-(b_2/m) t} + (F'/b_2)

Serían las nuevas velocidades que conseguimos con el cambio de ritmo. El aumento de velocidad en cada medio será:

\Delta \dot{x_1} = \dot{x'_1} - \dot{x_1} =

= K( e^{-(b_1/m) t} - e^{-(b_1/m) t}) + (F'/b_1) - (F/b_1) = \Delta F /b_1

\Delta \dot{x_2} = \dot{x'_2} - \dot{x_2} =

= K( e^{-(b_2/m) t} - e^{-(b_2/m) t}) + (F'/b_2) - (F/b_2) = \Delta F /b_2

Nuestro cambio de ritmo sería el mismo en cada medio, sin embargo, el aumento de velocidad sería menor en el medio de rozamiento mayor (b_2>b_1).

Entonces:

\Delta \dot{x_1} > \Delta \dot{x_2} \Longrightarrow (\Delta F / b_1 > \Delta F /b_2)

Todo por que (b_2>b_1). Si con el mismo cambio consigo aumentar más mi velocidad en el medio más ‘liviano’ el cambio será más efectivo. Está claro, los  cambios de ritmo mejor cuesta abajo que cuesta arriba, para el mismo esfuerzo mi velocidad aumenta más. Es más rentable cambiar viento a favor que en contra, corriente a favor y no corriente en contra. Más rentable y menos cansado.

¿Coincide ésto con la sabiduría popular?. Depende de a quien le preguntes. Supongo.

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¿Quién me pone la masa de aire encima?

Resumen

Las extrañas temperaturas registradas en mes de Octubre en la península Ibérica me dan pie para hacer un cálculo rápido y estimar el exceso de energía que la famosa masa de aire cálido requiere. Los resultados son interesantes pues sugieren que dicho exceso energético es equivalente a la energía que producen tres centrales nucleares durante unos nueve días, es decir, mucha energía.

ARTICULO:

La agencia española de meteorología (www.aemet.es) )acusa directamente a una masa ‘caótica’ de aire caliente estacionaria sobre la península al Octubre anómalo que estamos viviendo y ya se acaba (unos 4 ºC por encima de lo habitual).

Lo cierto es que llevamos un verano histórico, en cuanto a calor. El Sol y las altas presiones han calentado como nunca. Lo cierto es que Septiembre fue muy cálido en la zona central e occidental peninsular aunque las precipitaciones y temperaturas en levante rebajaran los datos y lo cierto es que los meteorólogos de telediario (se supone se informan bien) ya habían previsto contradictoriamente otoños frescos o ligeramente cálidos (esto depende del canal que sintonices). Estos meteorólogos de telediario una vez si y otra también a sol y altas presiones las llaman buen tiempo y malo todo lo diferente (y esto parece que es independiente de la estación en la que estemos y del canal visto). Ningún meteorólogo de telediario ha sido despedido por sus imprecisiones tras este Octubre ‘anómalo’.

Pero vamos a lo que nos interesa. LA MASA DE AIRE que nos domina. Veamos pues … si la superficie de la península Ibérica es de unos 590.000 km2 aproximadamente y los meteorólogos estiman la capa de aire caliente en unos 10Km de altura (vamos la Troposfera). Tenemos sobre nosotros un volumen aproximado de 5.9·106 km3 de aire caliente. Vamos a suponer que esta masa está unos 4ºC por encima de lo habitual para estas fechas. Si toda ella está en estas condiciones podemos obviar en nuestros cálculos la disminución de la temperatura con la altura. El denominado gradiente térmico (6.5ºC cada 1000mts de altura).

Mi objetivo es obtener la cantidad de energía extra almacenada en esta gran masa de aire por encontrarse unos 4ºC sobrecalentada.

Capacidad calorífica del aire: C_{aire} = 1.012 (kJ Kg^{-1} K^{-1}) Y la energía necesaria para elevar la temperatura de cierta masa (de aire en nuestro caso) puede calcularse con la expresión:

Q = C_{aire} (T - T_0)

Entonces, simplemente:

Q = 1.012 \quad x \quad 4 = 4.048 \frac{kJ}{Kg}

Que será la energía necesaria para calentar cada kilogramo de nuestra masa de aire. Y los kilos totales de aire se pueden estimar claro. Pero hemos de tener en cuenta que la densidad del aire disminuye con la altura, del mismo modo que lo hace la presión atmosférica. La denominada ley barométrica.

P = P_0 e^{\frac{-M g (h-h0)}{RT}}

Donde

M= masa molar del aire

g=9.8m/s2.

h0=altura referencia.

R=cte gases ideales.

T=Temperatura y h=altura.

La ley barométrica dice que la presión disminuye exponencialmente con la altura. De esta expresión se deduce una análoga para la densidad. Será:

\rho = \rho_0 e^{-(h-h0)/H}

Donde H será la denominada escala de altura (altura a ascender para que la presión disminuya hasta P0/e) (H=8.42Km). Y h0 y rho_0 serán una altura y densidad de referencia, en este caso el nivel del mar aproximadamente

\rho = 1.293 Kg/m^3

h = 0.0 mts

Ya están todos los datos. La energía extra total que tiene la dichosa masa de aire se obtiene de :

Q_t = \int_0^{10km} Q A \rho (h) dh

Donde Q es la energía necesaria para elevar esta temperatura por unidad de masa. A=área península ibérica. rho(h) =expresión para la densidad.

Dicha integral viene a ser ir sumando la energía necesaria para cada capa infinitesimal de aire sobre nosotros hasta llegar a los 10km de altura. Dénse cuenta de la expresión (densidad=masa/volumen); (masa=volumen·densidad) que es lo que estamos haciendo pues utilizamos el área por los elementos diferenciales de altura y la densidad que va tocando..

Vamos con las cuentas.

\int Q A \rho_0 e^{-(h-ho)/H} dh = Q A \rho_0 [-H e^{-(h-h0)/H}]_0^{10km} = QA \rho_0 [H(1 - e^{(-10/8.42)}]

= 4.048 (\frac{kJ}{Kg})] 5.9 10^6 (m^2) 1.293 (\frac{Kg}{m^3}) 8.42 10^3 (m) (1-0.305) = 1.807 10^{13} kJ =

=1.807 10^{16} J

Que será la energía extra almacenada por esa capa de aire. Para que luego digan que el aire es ligerito. Acabemos haciéndonos una idea de cuanto es esto.

Las centrales nucleares que operan en Cataluña (www.anav.es) (Valdellos II, Ascó I y Asco II) producen en conjunto una potencia eléctrica aproximada de 2.4 10^{10} kW h que si hacemos las cuentas corresponden con unos 2.074 10^{15} Jcada día de operación. Menos energía de la que tenemos encima. Y es fácil calcular que harían falta unos 9 días de operación aproximadamente para igualar la energía de la masa de aire ‘caótica’. Y nosotros llevamos ya un mes con ella encima. Para los meteorólogos no es más que una masa ‘caótica’,;lleva un mes molestando sin pedir permiso (después de un verano de justicia); si aquí hay un exceso energético de este tipo será que en algún sitio debe haber un ‘defecto’ y se están quedando pajaritos o será que la vieja tierra no evacua ya bien los excesos. En cualquier caso, por Dios, nos quiten la masa esta de encima.

🙂

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