El asalto fallido al castro

En mi primera salida a pie desde Sigüenza me había puesto como objetivo encontrar el castro o los supuestos restos existentes en una loma. No hallé el punto exacto pero encontré una bonita roca que aún conservo en mi cuarto y dediqué unas 5 horas de marcha a través del pinar y sus lindes entrando por un sitio y volviendo por otro como a continuación relato.

Subida al cementerio

No es mala idea entrar por éste transitado camino hasta llegar al cementerio donde escogemos derechas a avanzamos pinar adelante hacia nuevos parajes. Siempre subiendo dejo atrás las últimas casas, posible pelotazo urbanístico, que se resisten a desaparecer, encuentro un prado y luego una pista que sin duda, y según mi mapa se acerca al supuesto castro.

Cerro del rebaño y falsas ruínas

O el pequeño chasco tras ya casi 2 horas de esfuerzo solitario y ya cerca de las coordenadas donde la loma que tanto buscaba está tapizada de cagadas de ovejas y las ruínas, yo que estoy introducido en esto de los castros, parecen ser unos muros de uso ganadero. El desconcierto se me va rápido pues las ovejas dueñas del terreno avanzan hacía mi posición desde lo lejos. No por ellas sino por sus amiguetes los perros me pongo un poco nervioso y abandono el lugar, bajando abruptamente el pequeño barranco.

Escape hacia la pista, el paraje aluvial.

Justamente eso, un escape para encontrar la pista hacia la espesura. Se me van los ojos a las rocas del camino, yo palista, reconozco en el pedregal un fondo aluvial y observo en los roquedales de los caminos arenisca con los mismos cantos incrustados. Curioso y bello paraje, caprichosa geología que transformó un caudaloso río en pinar y afortunado yo que entre todas escogo una roca a mi parecer bonita que acaba en mi mochila (4-5Kg). Me propongo alcanzar el punto alto del pinar, el Morretón (1208mts). Hacia el lugar me encamino.

Un camino se adentra en el pinar Avanzando por el pinar

El Morretón y regreso por el arroyo del vado.

La mañana ha sido fantástica. Alcanzo el punto geodésico que señala el Morretón. Toco el cemento, pitanza y regreso. Cuesta abajo por la pista a la ruta del falso Quijote y alcanzar la senda del arroyo del vado, con algunos hermosos parajes que acaban por devolverte a Sigüenza. Unas 5 horas de ruta. Toca descansar. Mañana seguimos.

Arroyo esculpido en la roca Cavidad en la roca, el pinar

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La vida como un todo: Gaia

Un tipo raro, un tal Charles  (Carlos) Darwing, un inglés al fin y al cabo; en el único viaje que le llevo fuera de su Inglaterra dedujo la evolución:

Las especies se adaptan al medio. Los seres vivos de hoy son el resultado de miles de años de evolución, de adaptación y especialización. Los primeros seres unicelulares capaces de habitar un mundo hostil fueron evolucionando, lenta pero inexorablemente y sus descendientes tomaron forma de plantas, de peces, de reptiles, de mamíferos . . . o de cucarachas que le vamos ha hacer.  Nuestro ancestro común.

CarletesDarwing

Pero, ¿Evolucionó el mundo como un todo? ¿Cómo un planeta hostil pasó a ser habitable, respirable y cómodo?. E aquí la teoría Gaia, el culpable, otro inglés, que le vamos a hacer, James (Jaime) Lovelock (1919) y su hipótesis Gaia (1969) donde razona que las condiciones que permiten la vida no son anteriores a ésta sino el resultado de la propia vida.

JaimeLovelock

Los seres primigenios, efectivamente en un planeta Tierra hostil fueron transformando su medio hacia un lugar habitable y permisivo para la enorme diversidad biológica actual. La hipótesis inicial de Lovelock afirmaba que dicho acoplamiento vida-medio se ponía de manifiesto al menos en tres aspectos: La composición atmosférica, la temperatura y la salinidad oceánica:

La composición atmosférica: Pues se mantiene en un estado fuera de equilibrio constante, muy diferente a la primigenia y consecuencia de la vida.

La temperatura: Ha permanecido constante a pesar del incremento histórico de la energía proveniente del sol.

La salinidad del océano: Que se mantiene constante en lugar de aumentar constantemente.

Y no se trata únicamente de razonamiento, el mismo Lovelock formuló un modelo matemático sencillo (Daisy World), aunque suene raro, que demuestra el acoplamiento vida-temperatura, los habitantes de dicho mundo, con su capacidad de actúar globalmente  sobre la temperatura (a través de su reflectancia, su color) logran que la temperatura sea muy próxima a la óptima para su reproducción (1).  Aún sencillo, pone de mainfiesto los elementos claves de su teoría:

1) Los seres vivos han de tener capacidad para modificar globalmente el medio: por ejemplo capacidad para reflejar en mayor o menor medida la radiación del sol, de alterar la composición química de la atmósfera (O2, CO2) . . . etc

2)Los cambios sobre el medio afectan a la propia supervivencia de la vida (a su reproducción). De esta manera se realimenta el sistema.  Por ejemplo: si aumenta la temperatura proliferan las plantas capaces de reflejar en mayor medida la luz solar, se absorbe menos y la temperatura acaba por descender y viceversa si disminuye externamente la temperatura.  Todo dentro de ciertos límites claro.

Tierra

Evidentemente el sistema es complejo y la vida actúa como un todo, no de manera individual. Pero tiene un problema, el hombre, que parece tener sus propias reglas.  Bueno, resumiendo se trata de una hipótesis muy bella y fundamentada que completa o complementa la famosa evolución de Darwing y a la que parece que no le damos mucha importancia. La Tierra, el planeta azul, tan especial por ser el único que parece albergar vida, entre a otros a los monos sin pelo, también le debe mucho a la propia vida, no a nosotros que a lo mejor acaba por exterminarnos por higiene sino a nuestros ancestros a nuestros antepasados, las cucarachas, perdón, los seres unicelulares y demás fauna. En teoría al menos.

(1) T. M. Lenton; Gaia and Natural Selection; Nature vol 394, 1998

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El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha

Basta leer un libro antiguo que nos transporta al ambiente y a las expresiones de su tiempo (unos 400 años) para darse cuenta que hay cosas que no cambian, las suelta Cervantes por boca de Don Alonso Quijano y las escuchas 15 minutos más tarde en el bar de la esquina, con un ejemplo es suficiente:

Capítulo XI:

“De lo que sucedió a Don Quijote con unos cabreros”

<< Después que Don Quijote hubo bien satisfecho su estómago tomó un puñado de bellotas en la mano, y mirándolas atentamente soltó la voz a semejantes razones: “¡Dichosa edad y siglos dichosos aquellos a quien los antiguos pusieron el nombre de dorados! y no porque en ellos el oro, que en esta nuestra edad de hierro tanto se estima, se alcanzase en aquella venturosa sin fatiga alguna, sino porque entonces los que en ella vivían ignoraban estas dos palabras de tuyo y mío. Eran en aquella santa edad todas las cosas comunes, a nadie le era necesario para alcanzar su ordinario sustento tomar otro trabajo que alzar la mano, y alcanzarle de las robustas encinas que liberalmente le estaban convidando con su dulce y sazonado fruto. Las claras fuentes y corrientes ríos en magnífica abundancia sabrosas y transparentes aguas les ofrecían. En las quiebras de las peñas y en lo hueco de los árboles formaban su república las solícitas y discretas abejas ofreciendo a cualquiera a mano sin interés alguno la fértil cosecha de su dulcísimo trabajo. Los valientes alcornoques despedían de sí, sin otro artificio que el de su cortesía, sus anchas y livianas cortezas, con las que se comenzaron a cubrir las casas sobre rústicas estacas,  sustentadas no más que para la defensa de las inclemencias de cielo. Todo era paz entonces, todo amistad, todo concordia : Aún no se había atrevido la pesada reja del corvo arado a abrir ni visitar las entrañas piadosas de nuestra primera madre, que ella sin ser forzada ofrecía por todas las partes de su fértil y espacioso seno lo que pudiese hartar, sustentar y deleitar a los hijos que entonces la poseían. Entonces sí que andaban las simples y hermosas zagalejas de valle en valle y de otero en otero, en trenza y en cabello, sin más vestidos de aquellos que eran menester para cubrir honestamente lo que la honestidad quiere y ha querido siempre que se cubra; y no eran sus adornos de los que ahora se usan, a quien la púrpura de Tiro y lo por tantos modos martirizada seda encarecen, sino de algunas hojas de verdes lampazos y yedra entretejidas, con lo que quizá iban tan pomposas y compuestas como van ahora nuestras cortesanas con las raras y pregrinas invenciones que la curiosidad ociosa les ha mostrado. Entonces se decoraban los concetos amorosos del alma simple y sencillamente del mismo modo y manera que ella los concebía, sin buscar artificioso rodeo de palabras para enrarecerlos. No había fraude, el engaño ni la malicia mezclándose con la verdad y la llaneza. La justicia estaba en sus propios términos, sin que la osasen turbar ni ofender los del favor y los del interese que tanto ahora la menoscaban turban y persiguen. La ley del encaje aún no se había sentado en el entendimiento del juez, porque entonces no había que juzgar ni quien fuese juzgado. Las doncellas y la honestidad andaban, como tengo dicho, por donde quiera, solas y sereñas, sin temor que la ajena desenvoltura y lascivo intento las menoscaben, y su perdición nacía de su gusto y propia voluntad. Y ahora, en nuestros detestables siglos, no está segura ninguna, aunque la oculte y cierre otro nuevo laberinto como el de Creta; porque allí, por los resquicios o por el aire, con el zelo de la maldita solicitud que les entra la amorosa pestilencia, y les hace dar con todo su recogimiento al traste. Para cuya seguridad, andando más los tiempos y creciendo más la malicia, se instituyó la orden de los caballeros andantes para defender las doncellas, amparar las viudas, y socorrer a los huérfanos y a los menesterosos. De esta orden soy yo, hermanos cabreros, a quien agradezco el agasajo y buen acogimiento que hacéis a mi y a mi escudero: que aunque por ley natural están todos los que viven obligados a favorecer a los caballeros andantes, todavía por saber que sin saber vosotros esta obligación me acogísteis y regalastes, es razón que con la voluntad a mi posible os agradezca la vuestra.” Toda esta larga arenga (que se pudiera muy bien excusar) dijo nuestro caballero, porque las bellotas que le dieron le trujeron a la memoria la edad dorada; y antojésele hacer aquel inutil razonamiento a los cabreros, que sin respondelle palabra embobados y suspensos le estuvieron escuchando. >>

Que poco hemos cambiado 🙂

Unos gigantes retándoseUnos gigantes en reposo

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Ecuaciones de tercer grado

Ya estudiadas en la antigua Babilonia para después pasar por matemáticos Orientales (China e India); sin un resultado completo: la solución general.

Europa debió pasar primero el medievo, malos tiempos para la matemática y no fue hasta el renacimiento con la introducción de la numeración Indo-Árabe (1,2,3,4 …) cuando empezaron los progresos como el que nos ocupa, que a la postre llevarían a la revolución matemática de los siglos XVII – XIX.

Sería, Tartaglio (el tartamudo), siglo XVI, matemático autodidacta, el primero en obtener la solución general, con permiso de  Gerolamo Cardano, coetáneo de él y autor del trabajo y el nombre (la fómula de Cardano) que divulgó el método.

Pero vayamos al grano. La resolución de este tipo de ecuaciones requiere un par de cambios de variable y algo de álgebra, más lío que el segundo orden, quizá por ello poco conocidas. Veamos:

a x^3 + b x^2 + c x + d = 0

Reordenamos y renombramos:

x^3 + (b/a) x^2 + (c/a) x + (d/a) = 0

x^3 + b' x^2 + c' x + d' = 0

Un cambio de variable nos permite simplificar la cosa:

z = x + b'/3

Y nos lleva a:

z^3 +z(c' - b'^2/3) + (2b'^3/27) - (c'b'/3) + d' = 0

Por tanto a:

z^3 + p z + q = 0

Vamos mejorando, un segundo cambio…

z = u + v

Permite obtener:

(u^3 + v^3 + q) + (u + v)(3uv + p) = 0)

E  imponemos:

(3uv + p)=0

Lo que fuerza a que:

u^3 + v^3 + q = 0

Si tomamos ahora:

U=u^3  y V=v^3

Las condiciones anteriores serán:

U + V = -q

U V = -(p/3)^3

Donde ‘p’  y  ‘q’ son sencillas de obtener. Es fácil comprobar que ‘U’ y ‘V’ deben ser las raices de una ecuación de segundo orden del tipo:

X^2 + qX - p^3/27 = 0

Pues:

(X - U)(X - V) = X^2 - X(U+V) + UV = 0

Que evidentemente es fácil de resolver. Puede parecer un poco complicado, pero si quiere resolver una ecuación de tercer grado sólo debe seguir los siguientes pasos:

1.-    Partir de la ecuación general y reeescribirla de la forma:

z^3 + pz + q = 0

Teniendo en cuenta lo que corresponde a ‘p’ y ‘q’ (ver lo anterior)

2.- Calcular las soluciones de:

X^2 + qX - p^3/27 = 0

3.-Tras lo cual sólo queda deshacer cambios hasta el resultado:

u = (U)^{1/3} y v = (V)^{1/3}

Finalmente:

z = u + v y x= z - b'/3

El resultado buscado.

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Cambios de ritmo: ¿cuesta arriba o abajo?

Unas cuantas cuentas pueden ayudar a la sabiduría popular, quizá algún atleta de renombre se haga eco o algún esforzado de la ruta o palista, quien sabe. El caso es que mi conclusión es clara: Los cambios de ritmo a favor de corriente, cuesta abajo vamos. Lo voy a intentar demostrar claro.

Un modelo muy sencillo de un deportista que se mueve a velocidad constante se podría escribir:

F = m \ddot{x} +b \dot{x}

Para aclararnos \ddot{x} será la derivada segunda de la velocidad (la aceleración) y \dot{x} la derivada primera (la velocidad), del deportista claro. El rozamiento es proporcional a la velocidad. Será el caso más sencillo, rozamientos de orden mayor (cuadrado o cubo de la velocidad) nos llevarían a la misma conclusión más acentuada.

Seamos breves, si reescribimos la ecuación:

\ddot{x} - (b/m) \dot{x} - (F/m) = 0

Es sencillo llegar a las siguientes soluciones:

Posición:    x(t) = (m/b) K_1 e^{-(b/m) t} + (F/b) t + K_2

Velocidad: \dot{x} (t) = K_1 e^{-(b/m) t} + (F/b)

Aceleración: \ddot{x} (t) = - (b/m) K_1 e^{-(b/m)t}

La solución viene a expresar que el deportista (pasados los instantes iniciales) avanzará a velocidad constante tanto mayor cuanto mayor sea la fuerza que imprima y menor  el rozamiento del medio donde se mueva (F/b). Podría representar de manera sencilla a un ciclista en ruta, a un atleta corriendo o a un palista en el río.

Ahora viene lo interesante. Supongamos dos medios, dos coeficientes b_1 , b_2, (b_2 > b_1) .  Representarían avanzar cuesta arriba o abajo, corriente a favor o en contra. Según esto,  la velocidad cumple:

\dot{x_1} (t) = K e^{-(b_1/m) t} + (F/b_1)

\dot{x_2} (t) = K e^{-(b_2/m) t} + (F/b_2)

Para cada medio (1,2) respectivamente. Hacemos ahora un cambio de ritmo, el mismo sobre los dos medios (F' > F). Entonces:

\dot{x'_1} (t) = K e^{-(b_1/m) t} + (F'/b_1)

\dot{x'_2} (t) = K e^{-(b_2/m) t} + (F'/b_2)

Serían las nuevas velocidades que conseguimos con el cambio de ritmo. El aumento de velocidad en cada medio será:

\Delta \dot{x_1} = \dot{x'_1} - \dot{x_1} =

= K( e^{-(b_1/m) t} - e^{-(b_1/m) t}) + (F'/b_1) - (F/b_1) = \Delta F /b_1

\Delta \dot{x_2} = \dot{x'_2} - \dot{x_2} =

= K( e^{-(b_2/m) t} - e^{-(b_2/m) t}) + (F'/b_2) - (F/b_2) = \Delta F /b_2

Nuestro cambio de ritmo sería el mismo en cada medio, sin embargo, el aumento de velocidad sería menor en el medio de rozamiento mayor (b_2>b_1).

Entonces:

\Delta \dot{x_1} > \Delta \dot{x_2} \Longrightarrow (\Delta F / b_1 > \Delta F /b_2)

Todo por que (b_2>b_1). Si con el mismo cambio consigo aumentar más mi velocidad en el medio más ‘liviano’ el cambio será más efectivo. Está claro, los  cambios de ritmo mejor cuesta abajo que cuesta arriba, para el mismo esfuerzo mi velocidad aumenta más. Es más rentable cambiar viento a favor que en contra, corriente a favor y no corriente en contra. Más rentable y menos cansado.

¿Coincide ésto con la sabiduría popular?. Depende de a quien le preguntes. Supongo.

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Los vetones, el castro de Ulaca

Eran probablemente una variedad de Celtas, una especie de nativos prerromanos asentados desde generaciones en la iberia central, grandes desconocidos. Lejos de los bárbaros primitivos que muchos imaginan nos han dejado gran cantidad de restos, nosotros visitamos el castro de Ulaca (Ávila).

El castro de Ulaca es famoso por su extensión y por algunos de sus restos, no es un lugar aislado sino parte de todos los castros diseminados por la Vetonia. Algunos castros coinciden con asentamientos actuales (Salmántica) pero muchos otros fueron abandonados y cayeron en el olvido. Aparecen en plena naturaleza, salvajes, integrados en el entorno, aprovechando los cerros o cerca de arroyos. Son las ciudades Vetonas, habitadas durante siglos y en su mayoría abandonadas bajo la presión de los romanos. Pequeñas urbes de piedra.

El castro de Ulaca fue ‘redescubierto’ a finales del siglo XIX y es de una extensión enorme (comprobado …); estando allí se intuye perfectamente la presencia humana, las viviendas de piedra, la cantera, las murallas o el impresionante altar  esculpido sobre la misma roca. Allí uno siente el intenso frío que debieron sentir los nativos, entra en sus casas y recorre sus caminos. Esperemos que siguan así por mucho tiempo.

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Tomen nota

Curiosa deducción matemática circulando por la nube, son matemáticas, por tanto inofensivas, que nadie se ofenda … veamos:

1.-  Para conseguir una mujer necesitas tiempo y dinero.

MUJER = TIEMPO x DINERO

Culturilla general.

2.- “El tiempo es oro” por tanto “El tiempo es dinero

TIEMPO = DINERO

Evidente como la vida misma

3.- Reemplazamos 2 en 1, veamos:

MUJER = DINERO x DINERO

MUJER = (DINERO)^2

Ya vamos llegando a lo importante

4.- “El dinero es la raíz de todos los problemas

DINERO = \sqrt{PROBLEMAS}

5.- Por lo tanto, si reemplazamos 4 en 3 nos quedará …

MUJER = (\sqrt{PROBLEMAS})^2

Y los más espabilados se darán cuenta que el cuadrado y la raíz se cancelan, luego …

MUJER = PROBLEMAS

Verdad universal. “ Lo han clavado“. Parafraseando al autor anónimo original.

Adolescentes del mundo tomen nota 🙂

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